G-structure를 왜 배워야 하는가

내공이 부족한 관계로 아직 잘 모르지만, 그래도 왜 배우는지는 알고자 하는 마음에 구글링을 하고 있다.

좀 정리를 해 보자.

Riemannian structure, orientability, existence of (almost) complex structures, distribution 등의 수많은 문제들이 G-structure의 언어로 표현이 가능하고, 따라서 많은 equivalence problem들이 G-structure의 equivalence problem으로 환원 가능하다.

따라서

...A wide class of equivalence problems can be formulated in the language of G-structures. For example, a pair of Riemannian manifolds are (locally) equivalent if and only if their bundles of orthonormal frames are (locally) isomorphic G-structures. In this view, the general procedure for solving an equivalence problem is to construct a system of invariants for the G-structure which are then sufficient to determine whether a pair of G-structures are locally isomorphic or not...

Q1. 실제로 "to construct a system of invariants for the G-structure" 이게 할 만한 일인지가 궁금하다.

Q2. 주로 관심있는 것이 local equivalence를 check하는 일이라는데, 왜 local situation에 관심이 있는 것일까?

이런 question들과는 별개로, gauge가 수학적으로는 principal bundle의 (local) section에 해당하고, gauge transformation이 이러한 section들간의 transformation에 해당하는 것이라고 한다. 그리고 principal bundle의 connection form에 해당하는 물리의 개념이 gauge potential이며, 이것은 frame-dependent quantity이지만 covariant derivative를 통해 curvature form으로 변환하면 intrinsic quantity가 나온다고 한다. 따라서, 이 theory들은 이론물리의 수학적 배경을 제공해 주는 것이다. 몰랐다.. 쩝.

http://en.wikipedia.org/wiki/G-structure
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_group

by 상욱 | 2007/12/03 00:00 | Math | 트랙백 | 덧글(0)
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